Dünyanın En Sıkıcı Numarası…

Favori numaran nedir? Birçok kişinin aklında pi (π), Euler sayısı () gibi irrasyonel bir sayı olabilir.e) veya 2’nin karekökü. Ancak doğal sayılar arasında bile çok çeşitli bağlamlarda karşılaştığınız değerler bulabilirsiniz: yedi cüceler, yedi ölümcül günah, şanssız bir sayı olarak 13 ve 42roman tarafından popüler hale getirilen bu Otostopçunun Galaksi Rehberi Douglas Adams tarafından.

1.729 gibi daha büyük bir değere ne dersiniz? Sayı kesinlikle çoğu insan için özellikle heyecan verici görünmüyor. İlk bakışta, düpedüz sıkıcı görünüyor. Ne de olsa, ne bir asal sayı, ne 2’nin kuvveti, ne de bir kare sayıdır. Rakamlar da herhangi bir bariz modeli takip etmiyor. işte bu matematikçi Godfrey Harold Hardy (1877–1947) 1729 plakalı taksiye binince aklına geldi. O sırada hasta olan meslektaşını ziyaret ediyordu. Srinivasa Ramanujan (1887–1920) hastanede ve ona “sıkıcı” taksi numarasından bahsetti. Bunun kötü bir alamet olmadığını umuyordu. Ramanujan hemen arkadaşıyla çelişti.: “Çok ilginç bir rakam; iki küpün toplamı olarak iki farklı şekilde ifade edilebilen en küçük sayıdır.”

Şimdi ilginç olmayan herhangi bir sayı olup olmadığını merak edebilirsiniz. Bu soru hızla bir paradoksa yol açar: gerçekten bir değer varsa N hiçbir heyecan verici özelliği yoksa, bu gerçek onu özel kılar. Ancak, bir sayının ilginç özelliklerini oldukça nesnel bir şekilde belirlemenin gerçekten bir yolu var ve matematikçileri büyük bir şaşırtacak şekilde, 2009’daki araştırma, doğal sayıların (pozitif tamsayılar) keskin bir şekilde tanımlanmış iki gruba ayrıldığını öne sürdü: heyecan verici ve sıkıcı değerler.

Kapsamlı bir sayı dizileri ansiklopedisi, bu iki karşıt kategoriyi araştırmak için bir araç sağlar. Matematikçi Neil Sloane, 1963’te doktora tezini yazarken böyle bir derleme fikrine sahipti. O zamanlar ağaç ağı adı verilen bir grafik türündeki değerlerin yüksekliğini hesaplamak zorunda kaldı ve bir sayı dizisiyle karşılaştı: 0, 1, 8, 78, 944,… Henüz sayıları nasıl hesaplayacağını bilmiyordu. tam olarak bu dizideydi ve meslektaşlarının araştırmaları sırasında benzer bir diziyle karşılaşıp karşılaşmadıklarını bilmek isterdi. Ancak logaritmaların veya formüllerin aksine, sayı dizileri için bir kayıt yoktu. Ve böylece, 10 yıl sonra, Sloane ilk ansiklopedisini yayınladı, Tamsayı Dizileri El Kitabı, belirli hesaplamaların yapılmasında da yararlı olduğu kanıtlanan yaklaşık 2.400 dizi içeriyordu. Kitap büyük beğeni topladı: “İşte Eski Ahit, Yeni Ahit ve Hz. Tamsayı Dizileri El Kitabı” hevesli bir okuyucu yazdı, Sloane’a göre.

Takip eden yıllarda, daha fazla diziye sahip çok sayıda başvuru Sloane’a ulaştı ve yeni sayı dizilerine sahip bilimsel makaleler de ortaya çıktı. 1995’te bu, matematikçiyi meslektaşı Simon Plouffe ile birlikte yayınlamaya sevk etti. bu Tamsayı Dizileri Ansiklopedisi yaklaşık 5.500 sekans içeren. İçerik durmadan büyümeye devam etti, ancak İnternet veri akışını kontrol etmeyi mümkün kıldı: 1996’da, Tamsayı Dizilerinin Çevrimiçi Ansiklopedisi (OEIS) kaydedilebilecek sekans sayısı üzerindeki herhangi bir kısıtlama olmaksızın bir formatta yayınlandı. Mart 2023 itibariyle, 360.000’den fazla giriş içermektedir. Başvurular herkes tarafından yapılabilir: giriş yapan bir kişinin yalnızca dizinin nasıl oluşturulduğunu ve neden ilginç olduğunu açıklaması ve ayrıca ilk birkaç terimi açıklayan örnekler sağlaması gerekir. Gözden geçirenler daha sonra girişi kontrol eder ve bu kriterleri karşılıyorsa yayınlar.

Asal sayılar (2, 3, 5, 7, 11,…), 2’nin kuvvetleri (2, 4, 8, 16, 32,…) veya Fibonacci dizisi (1, 1, 2) gibi iyi bilinen dizilerin yanı sıra 3, 5, 8, 13,…) N ikiye dört çivili Lego blokları, (1, 24, 1.560, 119.580, 10.166.403,…) ya da “tembel yemekçi dizisi” (1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29,…), elde edilebilecek maksimum pasta parçası sayısı N keser.

Sunulan sayı dizilerini yaklaşık 130 kişi incelediğinden ve bu bariz adayları içeren liste onlarca yıldır var olduğundan ve matematikten anlayan toplulukta oldukça iyi bilindiğinden, koleksiyonun tüm dizilerin objektif bir seçimi olması amaçlanmıştır. Bu, OEIS kataloğunu sayıların popülaritesini incelemek için uygun hale getirir. Buna göre, listede bir sayı ne kadar sık ​​​​görülürse, o kadar ilginçtir.

En azından, Fransızca blogu yöneten Philippe Guglielmetti’nin düşüncesi buydu. Doktor Goulu. Bir gönderide Guglielmetti, eski bir matematik öğretmeninin 1.548’in özel bir özelliği olmayan keyfi bir sayı olduğu iddiasını hatırladı. Bu sayı aslında OEIS kataloğunda 326 kez geçmektedir. Bir örnek: “ olarak görünürkural 110’daki tek bir hücrenin nihai periyodu, genişliğin döngüsel bir evrenindeki hücresel otomat N” Hardy, 1729 numaralı taksiyi sıkıcı olarak nitelendirirken de yanılıyordu: 1.729, veritabanında 918 kez görünüyor (ve ayrıca sık sık TV şovunda futurama).

Böylece Guglielmetti gerçekten sıkıcı sayıların peşine düştü: OEIS kataloğunda neredeyse hiç yer almayan sayılar. İkincisi, örneğin 20.067 sayısı için geçerlidir. Mart ayı itibariyle, saklanan birçok sayı dizisinin hiçbirinde yer almayan en küçük sayıdır. (Bunun nedeni, veritabanının bir sayı dizisinin yalnızca ilk 180 veya daha fazla karakterini depolamasıdır; aksi halde, her sayı OEIS’nin pozitif tamsayılar listesinde görünürdü.) Yani 20.067 değeri oldukça sıkıcı görünüyor. Buna karşılık, onu takip eden 20.068 sayısı için altı giriş vardır.

Ancak evrensel sıkıcı sayılar yasası yoktur ve 20.067’nin durumu değişebilir. Belki de bu makalenin yazılması sırasında, ilk 180 karakter arasında 20.067’nin geçtiği yeni bir dizi keşfedildi. Bununla birlikte, belirli bir sayı için OEIS kayıtları, o sayının ne kadar ilginç olduğunun bir ölçüsü olarak uygundur.

Guglielmetti, doğal sayılar için sırayla tüm girişlerin sayısını çıktı olarak almaya devam etti ve sonucu grafiksel olarak çizdi. Büyük değerlere doğru eğimli geniş bir eğri şeklinde bir nokta bulutu buldu. Bir dizinin yalnızca ilk üyeleri OEIS kataloğunda saklandığı sürece bu şaşırtıcı değildir. Ancak şaşırtıcı olan, eğrinin açıkça görülebilen bir boşlukla ayrılmış iki banttan oluşmasıdır. Bu nedenle, bir doğal sayı, OEIS veritabanında ya özellikle sık ya da çok nadiren görünür.

Bu sonuçtan büyülenen Guglielmetti, düzenli olarak popüler bilim makaleleri yazan matematikçi Jean-Paul Delahaye’ye döndü. Bilim dökün, Bilimsel amerikalı‘nin Fransızca kardeş yayını. Uzmanların bu fenomeni zaten inceleyip incelemediğini bilmek istedi. Durum böyle değildi, bu yüzden Delahaye konuyu meslektaşları Nicolas Gauvrit ve Hector Zenil ile ele aldı ve daha yakından araştırdı. Bir ifadenin karmaşıklığını, ifadeyi tanımlayan en kısa algoritmanın uzunluğuyla ölçen algoritmik bilgi teorisinin sonuçlarını kullandılar. Örneğin, 47.934 gibi rastgele beş basamaklı bir sayıyı (“4, 7, 9, 3, 4 rakamları dizisi”) tarif etmek 16.384’ten daha zordur (2¹⁴). Bilgi teorisinden bir teoreme göre, birçok özelliğe sahip sayıların karmaşıklığı da genellikle düşüktür. Yani, OEIS kataloğunda sıklıkla görünen değerlerin açıklanması en kolay olanlardır. Delahaye, Gauvrit ve Zenil gösterebildi bu bilgi teorisi, doğal sayıların karmaşıklığı için Guglielmetti’nin eğrisinde gösterilene benzer bir yörünge öngörüyor. Ancak bu, Neil Sloane’dan sonra “Sloane’s gap” olarak bilinen o eğrideki açık deliği açıklamıyor.

Üç matematikçi, boşluğun belirli sayıların tercih edilmesi gibi sosyal faktörlerden kaynaklandığını öne sürdü. Bunu doğrulamak için, Monte Carlo simülasyonu olarak bilinen şeyi çalıştırdılar: doğal sayıları doğal sayılara eşleyen bir işlev tasarladılar ve bunu, küçük sayıların büyük sayılardan daha sık çıkmasını sağlayacak şekilde yaptı. Araştırmacılar fonksiyona rasgele değerler koydular ve sonuçları sıklıklarına göre çizdiler. Bu, OEIS kataloğundaki verilere benzer bulanık, eğimli bir eğri üretti. Ve tıpkı bilgi teorisi analizinde olduğu gibi, boşluk izi yoktur.

Boşluğun nasıl oluştuğunu daha iyi anlamak için hangi sayıların hangi banda düştüğüne bakmak gerekir. Yaklaşık 300’e kadar olan küçük değerler için Sloane’s Gap çok belirgin değildir. Yalnızca daha büyük sayılar için fark önemli ölçüde açılıyor: 300 ile 10.000 arasındaki tüm sayıların yaklaşık yüzde 18’i “ilginç” banttayken, kalan yüzde 82’si “sıkıcı” değerlere ait. Görünüşe göre ilginç grup, tüm kare sayıların yaklaşık yüzde 95,2’sini ve asal sayıların yüzde 99,7’sini ve ayrıca birçok asal çarpanı olan sayıların yüzde 39’unu içeriyor. Bu üç sınıf, ilginç grubun yaklaşık yüzde 88’ini oluşturuyor. Kalan değerler 1111 veya formüller 2^N + 1 ve 2^N– 1, sırasıyla.

Bilgi teorisine göre, özellikle ilgi çekici olması gereken sayılar, karmaşıklığı düşük, yani ifade edilmesi kolay olan sayılardır. Ancak matematikçiler belirli değerleri eşit karmaşıklığa sahip diğerlerinden daha heyecan verici bulursa, bu Sloane’un boşluğuna yol açabilir, Delahaye, Gauvrit ve Zenil’in tartıştığı gibi. Örneğin: 2^N + 1 ve 2^N + 2, bilgi teorisi açısından eşit derecede karmaşıktır, ancak yalnızca ilk formülün değerleri “ilginç bant” içindedir. Bunun nedeni, bu tür sayıların asal sayıların çalışılmasına izin vermesidir, bu nedenle birçok farklı bağlamda ortaya çıkarlar.

Yani ilginç ve sıkıcı sayılara ayırma, asal sayılara önem vermek gibi yaptığımız yargılardan kaynaklanıyor gibi görünüyor. En sevdiğiniz sayının ne olduğu sorulduğunda gerçekten yaratıcı bir yanıt vermek istiyorsanız, Sloane’un ansiklopedisinde henüz girişi olmayan 20.067 gibi bir sayı getirebilirsiniz.

Bu makale ilk olarak yayınlandı Spektrum der Wissenschaft ve izin alınarak çoğaltılmıştır.